松井先生コアミクロの補足：TransitivityがQuasi-transitivityをimplyすることの証明。

現在やっているコアミクロの家庭教師の方針として、宿題１を丁寧に理解することに。

最近宿題１の回答が出たので見てみると、LemmaとしてTransitivityがQuasi-transitivityをimplyすることなどの証明が乗っており、たしかにこれは重要だなと思った（内容としても重要だし今度のコアミクロの証明をやる上でも重要だと思った）。そこで来週の家庭教師はこの証明をちゃんと追う時間にすることに。そのための準備もかねてこの記事では、

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$X$ 上の選好 $\succeq$ がTransitivityを満たすとする。

このとき、
(1) $\forall x,y,z\in X$ $x\succ y\ \land\ y \succ z$ $\Rightarrow x\succ z$
(2) $\forall x,y,z\in X$ $x\sim y\ \land\ y \sim z$ $\Rightarrow x\sim z$

が成り立つ。

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の証明をTAさんの資料より丁寧にやってみようと思う。やりすぎなくらい丁寧にするつもりだけど、たぶん去年の自分は一回は丁寧な証明を見ておきたかったと思うので書いてみる。

なお(1)の条件はQuasi-transitivityと呼ばれるので、この記事のタイトルは「TransitivityがQuasi-transitivityをimplyすることの証明」にしてみた。

まずは簡単な（2）から証明してみる。

Proof of (2)：

Transitivityを満たす $X$ 上の選好 $\succeq$ について考える。

まずは任意に $x,y,z\in X$ を取ってくる。

いま任意に取ってきた $x,y,z\in X$ について、

$x\sim y\ \land\ y \sim z$ $\Rightarrow x\sim z$

が成り立っていることを示したい。

(case i) $x\sim y\ \land\ y \sim z$ が成り立っていない場合。

この場合には、 $x\sim y\ \land\ y \sim z$ $\Rightarrow x\sim z$ は明らかに成り立つ（ $\Rightarrow$ がどういうものか思い出せば分かる）。

(case ii) $x\sim y\ \land\ y \sim z$ が成り立っている場合。

この場合には、あとは $x\sim z$ を示せば $x\sim y\ \land\ y \sim z$ $\Rightarrow x\sim z$ を示せることになる。つまり、 $x\succeq z$ と $z\succeq x$ を示せば良い（無差別の定義を思い出す）。

まずは $x\succeq z$ を示す。これについては、 $x\sim y\ \land\ y \sim z$ が成り立っていることから $x \succeq y\ \land\ y\succeq z$ も成り立つので、Transitivityより $x\succeq z$ も成り立つことになる。

次に $z\succeq x$ を示す。これについては、 $x\sim y\ \land\ y \sim z$ が成り立っていることから $z \succeq y\ \land\ y\succeq x$ も成り立つので、Transitivityより $z\succeq x$ も成り立つことになる。

よって $x\sim z$ が示された(これで(case ii)についても $x\sim y\ \land\ y \sim z$ $\Rightarrow x\sim z$ が成り立つことが示された)。

以上より、最初に任意に取ってきた $x,y,z\in X$ について $x\sim y\ \land\ y \sim z$ $\Rightarrow x\sim z$ が成り立つことが分かり証明終了。

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なお実際には、(case i)の方は特に何も考える必要がないので、いまからやる証明のように最初から(case ii)の方だけを考えてしまえば良いことになる。

(1)の証明を見てみる。

Proof of (1):

Transitivityを満たす $X$ 上の選好 $\succeq$ について考える。

まずは任意に $x,y,z\in X$ （ただし $x\succ y\ \land\ y \succ z$ を満たす）を取ってくる。

この $x,y,z\in X$ について $x\succ y\ \land\ y \succ z$ $\Rightarrow x\succ z$ が成り立つことを示せばよい。ということは、 $x\succ z$ を示せば良い（ $x\succ y\ \land\ y \succ z$ が成り立つと想定しているから）。

よって、 $x\succeq z$ と $\lnot\ z\succeq x$ を示せば良い。

まずは $x\succeq z$ を示す。これについては、 $x\succ y\ \land\ y \succ z$ が成り立っていることから、 $x\succeq y\ \land\ y \succeq z$ が成り立つので、Transitivityより示せる。

次に $\lnot\ z\succeq x$ を示す。これは背理法で示すために、 $\lnot\ z\succeq x$ の否定を仮定する。つまり、 $z\succeq x$ を仮定する*1。すると、 $x\succ y\ \land\ y \succ z$ が成り立っていることから $x\succeq y$ が成り立つため、推移性より $z\succeq y$ が得られる（ $z\succeq x$ と $x\succeq y$ より）。しかし同時に $x\succ y\ \land\ y \succ z$ が成り立っていることから $\lnot z\succeq y$ も得られるので、これは矛盾。よって $\lnot\ z\succeq x$ が示された。

以上より最初に任意で取ってきた $x,y,z\in X$ （ただし $x\succ y\ \land\ y \succ z$ を満たす）について、 $x\succ y\ \land\ y \succ z$ $\Rightarrow x\succ z$ が成り立つことが分かり証明終了。

Fin.

*1:正確にいえば、仮定するのは $\lnot\ \lnot\ z\succeq x$ であるが、これを仮定するということは要は $z\succeq x$ を仮定するということである