松井先生コアミクロの補足：Asymmetric Part や Symmetric Part。

この記事では１つ前の記事（松井先生コアミクロの補足：アローの不可能性定理。）に出てきたAsymmetric Partなどについての補足説明をしておきます。

去年(2021年）のコアミクロの宿題２などに解説があると思いますが、それだけ読んでも理解するのは難しいと思うので一応簡単に説明しておこうと思った次第です。基本的には読者として松井先生のコアミクロを現在受けている人を想定していますが、「選好」について勉強中の人にも役立つとは思います。なお、この記事で採用している用語は教科書や分野によって異なるので注意は必要です。

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選好の定式化について理解するために、必要となる数学の話をまずは見ていきます。

数学的準備

集合 $X$ 上の二項関係とは直積集合 $X\times X$ の部分集合のことである。例えば $X=\{a,b,c\}$ のとき $\{(a,b)\}$ や $\{(a,a),(b,b)\}$ や $\{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,a),(b,c)\}$ などはどれも $X$ 上の二項関係である。なお注意が必要な点として、 $X\times X$ 自身や空集合も $X$ 上の二項関係である。

「集合 $X$ 上の二項関係とは直積集合 $X\times X$ の部分集合のことである」という定義はとても重要なので暗記しておくと良いと思う。他にも例を出すと $X=\{a,b\}$ のとき、 $X$ 上の二項関係の例として $\emptyset$ 、 $\{(a,b)\}$ 、 $\{(b,a)\}$ 、 $\{(a,a)\}$ 、 $\{(a,b),(a,a)\}$ 、 $\{(a,a),(b,b),(a,b)\}$ 、 $X\times X$ などが挙げられる。

そして、 $X$ 上の二項関係 $B$ について、そのAsymmetric Partは $\{(x,y)\in B\ |\ \lnot (y,x)\in B\}$ と定義され、そのSymmetric Partは $\{(x,y)\in B\ |\ (y,x)\in B\}$ と定義される。同じことではあるが、Asymmetric Partを $\{(x,y)\in X\times X\ |\ (x,y)\in B\ \land\ (y,x)\notin B\}$ 、Symmetric Partを $\{(x,y)\in X\times X\ |\ (x,y)\in B\ \land\ (y,x)\in B\}$ と定義することもできる。例えば $X=\{a,b,c\}$ として二項関係 $\{(a,a),(c,c),(c,a),(b,c),(c,b),(a,b)\}$ を考えたときに、そのAsymmetric Partは $\{(c,a),(a,b)\}$ 、Symmetric Partは $\{(a,a),(c,c),(b,c),(c,b)\}$ となる。 $\{(a,a),(b,c)\}$ の場合には、そのAsymmetric Partは $\{(b,c)\}$ となりSymmetric Partは $\{(a,a)\}$ となる。

ここまでの数学の話（二項関係、Asymmetric Part、Symmetric Partの定義）をもとに選好の定式化について見ていく。

選好の定式化

$X$ 上の選好 $\succeq$ とは $X$ 上の二項関係のことである(選好という概念を二項関係で記述する)。そして「 $(x,y)\in \succeq$ 」を「 $x \succeq y$ 」と略記し（これはこの文脈に限らず用いられる記法）、「 $x \succeq y$ 」を「 $x$ は $y$ と同等以上に望ましい」と解釈する。

$X$ 上の選好 $\succeq$ が与えられたとき、 $\succ$ と $\sim$ でそれぞれ $\succeq$ のAsymmetric PartとSymmetric Partを表す。*1そして「 $(x,y)\in \succ$ 」を「 $x\succ \ y$ 」と略記して「 $x$ は $y$ より厳密に望ましい」と解釈し、 $(x,y)\in \sim$ を「 $x \sim y$ 」と略記して「 $x$ は $y$ と無差別である」と解釈する。*2

つまり結局は $X$ 上の選好 $\succeq$ を考えたときに、「 $x \succeq y$ かつ $\lnot\ y\succeq x$ 」を「 $x$ は $y$ より厳密に望ましい」と解釈して、「 $x \succeq y$ かつ $y\succeq x$ 」を「 $x$ は $y$ と無差別である」と解釈することになる。

授業を受ける上でのポイント

・授業において「 $X=\{a,b,c\}$ 上の選好として $a\ \succ\ b\ \sim\ c$ を考える*3」という文が出てきた場合、これは $a$ と $a$ は無差別で、 $b$ と $b$ は無差別で、 $c$ と $c$ は無差別で、 $a$ は $b$ より厳密に望ましくて、 $b$ と $c$ は無差別で、 $a$ は $c$ より厳密に望ましい、となるような選好を意味している。よって、このとき考えている選好は $\succeq=\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,c),(c,b),(a,c)\}$ である。

・恐らくあまりないが、 $\succ$ や $\sim$ の表記について、これらは $\succeq$ から作られたものであり（それぞれ $\succeq$ のAsymmetric PartとSymmetric Part）、本来的には「 $\succ(\succeq)$ 」や「 $\sim(\succeq)$ 」のように $\succeq$ に依存していることを明示すべき概念であることを思い出すと混乱が少なくなる場面があるかもしれない。例えば、「 $i$ さんの選好 $\succeq$ が $a\succ b$ を満たす」のように書いてあるときに、「条件 $a \succ b$ の中に $\succeq$ が出てきていないけど、それでいいのかな？」のように悩んでしまうことを回避できる。つまり、「 $a\succ \ b$ 」を「 $a \succ(\succeq) \ b$ 」と心の中で書き直すことで（ $\succ$ が $\succeq$ から作られる概念であることを思い出すことで）、 $a \succ b$ はちゃんと $\succeq$ についての条件になっていることが分かる。

Fin.

*1:選好を $R$ で表記する場合にはそれぞれ $P$ 、 $I$ を用いることが多いです。

*2:あまり厳密な話は僕も分かっていないが（というか気にしてもしょうがないので教科書などにも書いていないが）、より丁寧なかんじに用語を作るのであれば、「定義１：選択肢の集合X上の選好とはX上の二項関係のことである」、「定義２：X上の選好 $\succeq$ が与えられたとき、『 $\succeq$ から導かれる強選好』とは $\succeq$ のAsymmetric Partのことである」、「定義３：X上の選好 $\succeq$ が与えられたとき、『 $\succeq$ から導かれる無差別選好』とは $\succeq$ のSymmetric Partのことである」のようにより定義っぽい形で整理することはできると思う。ただし『 $\succeq$ から導かれる強選好』のような表現はどこかで見た表現ではなく今思いついたものである。

*3:「ーーで表される合理的な選好を持っている」と言った方が親切だとは思うのだが、"合理的な"の部分は基本的に省かれる。