前編：経済学の授業を受ける前にやりたかったトレーニング

僕は経済学部出身ではないのですが、学部３年のときに経済学部の授業を受け、強烈な洗礼を受けました。「全部数学で書かれていて、何も分からない」

経済学部では「使用言語が数学」というかんじで、授業スライドが何も読めませんでした。

そこで今回は、当時の自分が受けたかった「集合や論理の言葉になじむためのトレーニング」を作ってみました。

３つの記事に分けて、それぞれ30分程でできるものを目指しました。本格的な経済学の授業を受ける前の学部３、４年生におすすめです。

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集合から始めます。

という記号は集合を表すのに使います。例えば、 と書いたら、それは文字 と 文字と文字 からなる集合です。本当は「集合の定義」を行いたいのですが、それはとても難しいので立ち入りません。一旦、「数字でも文字でも何かしらの対象物を集めたもの」を集合と呼ぶと思ってください。

 は  に属しており（  という集合の要素であり）このことをと表します。 は  に属していないので「 」は成り立ちません。 が  に属していないことを「 」と表します。 は「 は  に属している」と主張する文であるため間違っていますが、 は「 は  に属していない」と主張する文であり正しいです。

経済学では色々な集合を考えますが、「実数全体からなる集合」はよく使うのでこの特別な集合を で表すことにします。実数とは、 とか とか とか とか とか基本的に想像できる数字すべてのことです。ただし、乗するとになる数 などは含みません。数直線上にある数はすべて実数ですし、数直線上にない数は実数ではありません。

実数全体からなる集合には無限個の要素が入っているためその中身を全部書くことはできませんが、 は  のようになっているというイメージを持ってください。常識的に考えられる数が全部入っているのがという集合です。したがって、 は成り立ちますし、 も成り立ちます。

自然数全体の集合もよく使うので、記号を導入して で表すことにしましょう。 は  のようになっています。 の中にを入れる流儀もありますが(つまりを自然数として扱う流儀もありますが)、経済学では入れないことが多いです。 なお、 や については  や という記号を使うことが多いですが、この記事では や を用います。

他にもよく使う記号として、、があります。それぞれ、「正の実数全体からなる集合」、「非負の実数全体(もOK）からなる集合」です。はにもにも属します。はには属しますがとには属しません。はとには属しますが、には属しません（「非負」と「正」の違いに注意してください）。

以下の文はどれも正しい文です(真である命題です)。１つずつ正しいことに納得してください。

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ここまででやったのは、とという記号の使い方と、、、、などの紹介です。これらの表記はとても便利です。例えば、「（理論上ありうる）体重の集合」はで表せそうです。また「（理論上ありうる）今までの人生で飲んだ水の総量の集合」であればで表せそうです（生まれたばかりの人は水を飲んだことはないでしょうからを入れています）。「（理論上ありうる）会社の収支の集合」であれば赤字になることもあるでしょうからを用いたくなります（ただしこの場合は「円の黒字」なども概念として許容することになります）。このように経済学ではそのとき考えたいテーマに合わせて考えるベースになる集合を用意していきます。

ここで「（理論上ありうる）テニスをした回数の集合」について考えます。この場合はを用いれば良さそうですが(を用いるのは微妙でしょう。回テニスをしたことがあるというのは変なので）、しかしテニスをまったくやったことがない人もいるでしょうからだとが入っていない点が困ってしまいます。そこでという集合にを追加した集合を考えたくなります(という集合にだけからなるという集合をくっつけたような集合を考えたくなります)。

実はそのような集合はという記号を用いて、と表されることになります。

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とという記号について紹介します。２つの集合、があるときという記号はAとBの(少なくとも)どちらか一方には属しているもの全体からなる集合を表します。例えば、、のとき、はという集合になります。、のとき、はという集合になります。「少なくともどちらか一方」となっているため、との両方に属しているものもに含まれます。例えばのとき、です。

補足しておくと（あまり気にしなくていいですが）、と書いたとき、これは正しい文ですが、その主張は「という集合とという集合の中身が一致している」です。集合と集合がで結ばれているとき、それは２つの集合は必ずしも概念として同じであるわけではなく、その中身が同じということです。

次にについて説明します。２つの集合、があるときという記号は集合と集合の両方に属しているものからなる集合を表します。例えば、のときはになります。ここで要素が何も入っていない集合も考えることとして、これをで表すことにします。つまり、はみたいなかんじで「空集合」と呼ばれます。、のときは要素が何も入って集合となるので、です。

以下の文はどれも正しい文です。１つずつ正しいことに納得してください。

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また、は正しい文であることを確認してみてください。 はとなることから分かります。

以下の文はどれも正しい文です。１つずつ正しいことに納得してください。

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(6)

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(3)〜(5)は復習問題です。例えば(7)は、まずの部分がという集合になる（に等しい）ことを確認すると分かります。

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なお、少し難しいですが、の定義を思い出すと、も正しいです。これについてよく考えるとに対する理解が深まると思うので、２種類の理解の仕方を見てみます。

一番丁寧な理解の仕方は次の通りです。まず、自然数以外のものを考えてみます。するとそれがどんなものであれ、自然数でないなら、にもにも属さないため（その少なくとも一方に属するもの全体からなる集合として定義される）には属さないと分かります。続いて任意の自然数を考えれば（どの自然数でも良いので自然数に注目すれば）、これは自然数全体からなる集合であるに属するため、に属すると分かります。以上より、に属するのは自然数()だけでそれ以外は属さないと分かります。困ったらこのように丁寧な方法で理解するのが良いと思います。

他にも、簡単な例（など）から、という記号は集合に集合を”くっつけてあげた”ような集合だなというイメージを得て、そのイメージから納得する方法もあります。はという集合にという集合を"くっつけてあげた"ようなもので、にそもそもが属しているので、という集合にという集合をくっつけてあげてものままで変わらないという理解です。

どちらの方法でも良いのでに納得してみてください。

また、はとなります。と空集合の少なくとも一方に属しているものからなる集合がであると主張しています（これもイメージでいえば、に何も入っていない集合であるをくっつけてあげてものままということです）。

以下の文はどれも正しい文です。１つずつ正しいことに納得してください。

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(10)についてはに惑わされないでください。はあくまで「何も要素を持っていない集合」で、というイメージです。それに気をつければ理解できると思います。(12)については、ももあくまで集合であることを思い出してください。そして、すべてのの要素はの要素でもある（すべての自然数は実数でもある）ことに注意してください。

最後に、も確認してください。とについて「たしかにそうだな」となったら、とはマスターです。

ここまでで、やの使い方と、やなどの紹介、との紹介をしました。次に少し毛色が違うことについて紹介します。

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ある集合を表すときに、その中身を全部書き出す方法もありますが（例えば と書き出す）、もうつの方法（記法）があります。

例えば、のように書きます。これは「以上以下の自然数からなる集合」を表しています。他にも、 と書いたらこれは以上以下の実数全体からなる集合を表します。と書いたらこれは以上の実数全体からなる集合です。 は正の実数の中で以上であるという条件を満たすもの全体の集合を表します。なお、以上以下の実数全体からなる集合を表すときに、を使いましたがここには何を使っても同じ集合を表します。例えば、を使って と書いても、を使って と書いても同じことです。

一般に という形式のものは、に属するものの中で｜の後ろに書いてある条件を満たすもの全体からなる集合を表します。

は自然数の中で以上以下という条件を満たすものからなる集合になるため、となります。そのため、は正しいです。の代わりにを用いてもいいので、も正しいです。なお、ですが、でもあります。

例を見て感覚を掴みましょう。

以下の文はどれも正しい文です。１つずつ正しいことに納得してください。

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最後の(3)については、に注意すれば、となるので、になることが分かります。

以下の文はどれも正しい文です。１つずつ正しいことに納得してください。

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最後のは少し難しそうですが、がという集合に入っていると主張しています。、に注意すると、になります。よって、はにたしかに属していると分かります。

以下の文はどれも正しい文です。１つずつ正しいことに納得してください。

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次に直積集合についてやりましょう。

２つの集合、が与えられたときに、という記号がどのような集合を表すかを紹介したいのですが、、のケースでイメージを掴みます。このときはという集合になります。という「２つの数字の組」、という「２つの数字の組」、という「２つの数字の組」、という「２つの数字の組」、の４つの要素からなる集合です。

との違いに注意してください。と書いたらこれはとからなる集合ですが、と書いたらこれはとを「順番を気にして」組にしたものというかんじです。集合においては何が入っているかだけが大事なのでとは同じですが、とは順番を気にする概念なのでこれらは別物です。

直積集合についてもう少し例を見ます。という集合を表します。つまり、集合と集合が与えられたときには「に属するものとに属するものを（順番を気にして）組にしたもの全体からなる集合」となります。

という集合になります。集合はどの順番に並べてもいいので、「という集合になります」と言ってもいいです。なお、はとなります。

という集合には、がのようなものであると思い出せば、この集合にはやなどが入っており、他にもであったり、も入っていることが分かります。ただし、は入っていません。

以下の文はどれも正しい文です。１つずつ正しいことに納得してください。

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最後の（13)ではがつ続いていますが、つのときと同じです。つまりですが、同じようにです。

また、これは当たり前ですが、です。であるため、この集合にはとしか入っておらず、は入っていないため、となります。

以下の文はどれも正しい文です。１つずつ正しいことに納得してください。

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これも表記の問題ですが、のことをと書くことがあります。同じようにのことをと書くことがあります。、などは正しいですし、も正しいです。についてもと書いたりします。これらの表記もよく使うので慣れてください。

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次に、]などの表記について紹介します。これはのことです。つまり以上以下の実数全体からなる集合です。同じように、]はのことです。

は、はのことです。はのことです。ただし、と書かれただけでは、とを順番を気にして並べたものであるかを指しているのかは分かりません。これは表記が被ってしまっているので文脈で判断するしかありません。例えば、と書いてあるときは、はという集合を表していると分かります。対してと書いてあるときは、は2と３を組にしたものを表していると分かります。]や]のときには混乱しようがありませんが、のようなときには少し注意が必要です。

とはいえ、開区間、ベクトルのように名前をつけて呼んだり文字の大きさを変えたりすれば良いだけなので実際には「これはどっちだろう」と悩むことはあまりないです。

他にも大事な表記として、と書いた場合は、これはのことです。また、はのことで、ですし、です。には注意してください。

また、にような表記はなどにも使えて、 のことをのように表すことがあります。です。あ、もちろんと書いた場合のはとの組という意味で、という集合ではありません。以下、などは数字の組を意味していると思ってください(開区間の意味で使う場合にはその都度断ります)。

以下の文はどれも正しい文です。１つずつ正しいことに納得してください。

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(10) ]

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(12) ]

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最後は集合の引き算についてです。２つの集合とに対して、はの要素の中でに属さないもの全体からなる集合です。例えばです。です。も確認してみてください。これは、非負の実数全体の集合に入っている要素の中で正の実数全体の集合に入っていないもの全体からなる集合であるため、となります。

以下の文はどれも正しい文です。１つずつ正しいことに納得してください。

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これで前編の内容は終了です。以下に3つのコラムがありますが、これらは中編、後編を読むのに必須なので見てみてください。

コラム：は便利。

って概念は実際に役立つのかですが、意外と役立ちます。

例えば、ある学校にいる人の集合としてを考えましょう。ここで学校でビンゴ大会をやるとして、校長先生は主催者だからビンゴには参加できないとしましょう。すると、ビンゴ大会の参加者はと表されます。

もちろん新しい集合を、と書き出して定義してもいいですが、さすがに面倒。１人引くだけなんだから、と書きたくなります。表記として便利です。また、生徒1が欠席した場合にも、を使うと簡単にビンゴの参加者全体からなる集合はと書けます。

コラム：と

種類の財がある状況を考えましょう。りんごとバナナしかないならです。このとき価格ベクトルを考えましょう。りんごとバナナのケースでは、りんごの値段とバナナの値段を並べたなどが価格ベクトルです。その経済にある財の価格を順番を気にして並べたのが価格ベクトルです。

種類の財がある市場において、「潜在的に実現しうる価格ベクトル」全体からなる集合を考えることにしましょう。

このときある先生が授業において、「潜在的に実現しうる価格ベクトル全体からなる集合はです」と言ったとしましょう。この場合、すべての財の価格がであるようなという価格ベクトルは入っていますが（潜在的に実現しうるものとして考えることになりますが）、のようなある財の価格がであるような価格ベクトルは入っていません。つまり、この先生は「どの財の価格もになることはない（そもそもそのケースを考える必要はないから考える対象から外してしまおう）」という立場だと分かります。

では他の先生が、「潜在的に実現しうる価格ベクトル全体からなる集合はです」と言ったとしましょう。こちらの方がポピュラーだと思います。ちなみに、の部分はが個並んでいると思ってください。はに属しますし、今回はも属します。つまり、この先生は価格がマイナスになる可能性は排除していますが「ある財の価格が0になることはない」とはいっていないようです。しかし、はに属していないので、「全部の財の価格が0であるような価格ベクトル」は考える対象から排除していると分かります。

このように、同じ「価格ベクトル」という概念でもそれがどの範囲になり得るかはその先生が行う定式化によって違ったりします。これは非常に重要で初回授業で説明されたときに聞き流していると、証明の時に混乱したりします(証明の手順が変わったりするので)。丁寧に確認しておくのがオススメです。

コラム：ってどんな集合？

復習のために、という集合について考えてみましょう。

は実数全体からなる集合でやなどが属しています。はという集合でやなどが属しています。

すると、、、、はどれもに属していることが分かります（なぜなら、これら４つはとのどちらかには属しているので、の定義より、にも属しています）。

もちろんなどはにもにも属していないので、には属していません。はのように「実数」と「２つの実数の組」からなる集合です。

以下を確認してみてください。








最後のはに注意してください。

中編はこちら