Fair Allocation Ruleの領域の色々な公平性の概念（後半）

前編はこちら。

公平性8： $(\mathcal{G},\Lambda)$ envy free

この公平性は具体的な1つの公平性ではなく、 $(\mathcal{G},\Lambda)$ として何を採用するかによって内容が変わります。特定の仕方によっては、envy freeに一致したり、average envy freeに一致したり、strict envy freeに一致したりします（ただし、定義を見ると分かるようにbalanced envyに一致することはありません）。それらを統一的に扱おうとしているがゆえに定義は少し込み入りますが、以下のように定式化されます。

$\mathcal{G}=(G_1,….,G_n)$ 、および、 $\Lambda=(\Lambda_1,,...,\Lambda_n)$ が与えられたとき、

（ここで $G_i$ は $N$ の空ではない部分集合で $i$ さんとの比較に用いられる人々の集合）

（ここで $\Lambda_i$ は $\Delta^{G_i}=\{(\lambda_j)_{j\in G_i}\ \in [0,1]^{|G_i|}\ |\ \Sigma_{j\in G_i}\ \lambda_j\ =\ 1\}$ の空ではない部分集合で、 $i$ さんについて行う比較のweight全てからなる集合）

(各 $G_i$ は $\{1,2,5\}$ みたいなかんじで、各 $\Lambda_i$ は $\{(0.1,0.5,0.4),\ (1,0,0),\ (0.2,0.4,0.2)\}$ みたいなかんじです)

経済 $e\in \mathcal{E}^N$ において配分 $z\in Z(e)$ が $(\mathcal{G},\Lambda)$ envy freeであるとは、任意の $i\in N$ と任意の $(\lambda_j)_{j\in G_i}\in$ $\Lambda_i$ について、 $z_i\ R_i\ \Sigma_{j\in\ G_i}\ \lambda_j\ z_j$ が成り立つことである。

なお任意の $i$ さんについて、 $G_i$ を $i$ さん以外全員からなる集合である $G\setminus\{i\}$ としておいて、 $\Lambda_i$ を $n-1$ 次元の単位ベクトル（例えば $(1,0,...,0)$ など）全体からなる集合としておくと、 $(\mathcal{G},\Lambda)$ envy freeは普通のenvy freeに一致します。

公平性9：ranking関連

これは他とは形式が少し異なります。今までの概念は「その概念の条件を満たしているか満たしていないか」のどちらかでしかありませんでした。そのため例えばenvy freeであればenvy freeの条件を満たしていない２つの配分についてどちらの方が公平かなどについては何も教えてくれませんでした。

このような「荒さ」に対処するアイディアとして、

9-1：羨望が発生している各 $i,j$ （ただし $i$ さんから $j$ さんへの羨望が発生している）について $u_i(z_j)-u_i(z_i)$ を計算して、その合計で配分の公平度合いを測る。

などが出てきます。

utility functionの値を比較しているため、utility functionは単に選好を表すものであるという立場からは外れてしまう難点はありますが、各配分にこのように公平性の度合いを定めると、envy freeではない配分間での公平性の比較が可能になります（なお、envyが発生していない配分については $0$ で処理をしておく）。

他のアイディアとしては、

9-2：羨望が発生している各 $i,j$ （ただし $i$ が $j$ を羨望している）について、 $\lambda_{ij}$ を $\lambda_{ij}\ z_i\ I_i\ z_j$ を満たす値として定めて、その合計で配分の公平度合いを測る（今回は値が小さい方が公平性が大きい）。

なども考えることができます。

羨望が発生している $i,j$ さんについて（つまり $z_j\ P_i\ z_i$ となっている $i,j$ さんについて）、 $i$ さんのベクトルである $z_i$ を何倍してあげれば $z_j$ と無差別になるかを計算しているわけです（ただしwell-definedになるためには条件が少し必要ではあります）。

また、make senseするかは置いておいて例えば9-1において、羨望が発生しているかに関係なく、全てのペアについて $u_i(z_j)-u_i(z_i)$ を計算して合計すればenvy freeな配分間での公平性の比較をすることもできます。

これらのように公平性の度合いを測ることで、feasibleな配分の集合上により細かい（満たしているか満たしていないかという0,1よりも細かい）rankingを考えることができます。

公平性10：Egalitarian Equivalence

envy freeと並ぶ有名な公平性の概念です。

経済 $e\in \mathcal{E}^N$ において配分 $z\in Z(e)$ がEgalitarian Equivalentであるとは、あるベクトル $z_0\in \mathbb{R}_+^k$ が存在して $(z_0,...,z_0)\ I\ z$ が成り立つことである。

全員にとって、ある $z_0$ というベクトルと自身の割り当てられたベクトルが無差別になっているということです。

公平性11：equal-division core

この公平性はequal division lower boundをグループに関して一般化したものです。equal division lower boundは各個人について「私はそのベクトルを割り当てられるくらいなら $\frac{1}{n}\Omega$ を貰った方がマシだ」とならないことを要求していていましたが、今回のequal-division coreは各グループ $G\subseteq\ G$ について「私たちはそのベクトルを割り当てられるくらいなら $\frac{|G|}{|N|}\Omega$ を貰って自分たちで再配分した方がマシだ」とならないことを要求します。

経済 $e\in \mathcal{E}^N$ において配分 $z\in Z(e)$ がequal-division coreに属するとは、任意の $G\subseteq\ N$ について、次の条件を満たす $(z_i’)_{i\in G}\in \mathbb{R}_+^{k|G|}$ （ただし $\Sigma_{i\in G}\ z_i’\ =\ \frac{|G|}{|N|}\Omega$ ）が存在しないことである; $\forall i\in G\$ $z_i’\ R_i\ z_i$ かつ $\exists i\in G$ $z_i’\ P_i\ z_i$ 。

公平性12：no-domination for groups

この公平性はno-dominationをグループに関して一般化したものです。

経済 $e\in \mathcal{E}^N$ において配分 $z\in Z(e)$ がno-domination for groupsを満たすとは、「あるグループ $G,G’\subseteq\ N$ が存在して、 $\frac{\Sigma_{i\in\ G}z_i}{|G|}\ \gt\ \frac{\Sigma_{i\in\ G'}z_i}{|G’|}$ 」が成り立たないことである。

どの2つのグループについても、平均を取ったときにどちらかのグループの方が全ての財において多く貰っている（そして1つの財については厳密に多い）ことはないことを要求します。

今回は扱いませんが、envy freeなどについてもグループに関する一般化をすることはできます。

最後に2つChoice setに関する公平性を紹介します。

公平性13：equal opportunity

この公平性は「どの個人についても同じchoice set Bから選択していると捉えられる」という意味での公平性です。

経済 $e\in \mathcal{E}^N$ において配分 $z\in Z(e)$ がequal opportunity allocationであるとは、ある空ではない $B\subseteq\ \mathbb{R}_+^k$ が存在して、任意の $i\in N$ について $z_i$ が $R_i$ を $B$ 上で最大化していることである。

公平性14：equal opportunity equivalence

1つ前の公平性をEgalitarian Equivalenceっぽいかんじにしたのがこの公平性です。

経済 $e\in \mathcal{E}^N$ において配分 $z\in Z(e)$ がequal opportunity equivalentであるとは、ある空ではない $B\subseteq\ \mathbb{R}_+^k$ が存在して、任意の $i\in N$ について、 $z_i\ I_i\ z_i^*$ が成り立つことである（ここで $z_i^*$ は $R_i$ を $B$ 上で最大化するベクトル）。

以上です。今回は割と単純な経済について考えてきましたが、productionを入れた経済を考えるなど考える経済を変えることでも新しい公平性の概念が出てきたりします。興味を持った方はぜひHandbook of Social Choice and WelfareのChapter21を読んでみてください！

Fin.